3.790 \(\int \sec (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \, dx\)

Optimal. Leaf size=103 \[ \frac{\sqrt{2} \tan (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac{a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-m;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac{b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right )}{f \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

[Out]

(Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1 - Sec[e + f*x])/2, (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x]
)^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.073033, antiderivative size = 103, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 19, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.158, Rules used = {3834, 139, 138} \[ \frac{\sqrt{2} \tan (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac{a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-m;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac{b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right )}{f \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(Sqrt[2]*AppellF1[1/2, 1/2, -m, 3/2, (1 - Sec[e + f*x])/2, (b*(1 - Sec[e + f*x]))/(a + b)]*(a + b*Sec[e + f*x]
)^m*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*((a + b*Sec[e + f*x])/(a + b))^m)

Rule 3834

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[Cot[e + f*x]/(f*Sqr
t[1 + Csc[e + f*x]]*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]), Subst[Int[(a + b*x)^m/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Csc[e + f
*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

Rule 139

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[(e + f*x)^
FracPart[p]/((b/(b*e - a*f))^IntPart[p]*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^FracPart[p]), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*
((b*e)/(b*e - a*f) + (b*f*x)/(b*e - a*f))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]
&&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !GtQ[b/(b*e - a*f), 0]

Rule 138

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)
^(m + 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))])/(b*(m + 1
)*(b/(b*c - a*d))^n*(b/(b*e - a*f))^p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Inte
gerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && GtQ[
d/(d*e - c*f), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]) &&  !(GtQ[f/(f*a - e*b), 0] && GtQ[f/(f*c - e*d), 0] && Simpl
erQ[e + f*x, a + b*x])

Rubi steps

\begin{align*} \int \sec (e+f x) (a+b \sec (e+f x))^m \, dx &=-\frac{\tan (e+f x) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^m}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{\left ((a+b \sec (e+f x))^m \left (-\frac{a+b \sec (e+f x)}{-a-b}\right )^{-m} \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-\frac{a}{-a-b}-\frac{b x}{-a-b}\right )^m}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=\frac{\sqrt{2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-m;\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x)),\frac{b (1-\sec (e+f x))}{a+b}\right ) (a+b \sec (e+f x))^m \left (\frac{a+b \sec (e+f x)}{a+b}\right )^{-m} \tan (e+f x)}{f \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 14.5709, size = 2828, normalized size = 27.46 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[e + f*x]*(a + b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(-6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos
[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^(1 + m)*(a + b*Sec[e + f*x])^m*Tan[(e + f*x)/2])/(f*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a
+ b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*
AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*
AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*(
(6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[
e + f*x])^m*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]^m*Tan[(e + f*x)/2]^2)/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*(3*(a + b)*Appe
llF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[
3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[
3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*(a +
b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x
])^m*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]^m)/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (6*a*(a + b)*m*AppellF1[1/2, 1 + m,
-m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x])^(-1 + m)*Sec[e + f*x]
^m*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (6*(a + b)*m*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2
, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^(1 + m)*Sin[e
+ f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^
2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((
a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (6*(a + b)*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^m*T
an[(e + f*x)/2]*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)
/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(3*(a + b)) + ((1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/((-1 + Tan[(e + f*x)/
2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(
-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a +
b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e +
f*x)/2]^2)) + (6*(a + b)*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b
)]*(b + a*Cos[e + f*x])^m*Sec[e + f*x]^m*Tan[(e + f*x)/2]*(2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(a + b)*(-((a - b
)*m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2
]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(3*(a + b)) + ((1 + m)*AppellF1[3/2, 2 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e
+ f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-((a - b)*m*((3*(a - b)
*(1 - m)*AppellF1[5/2, 1 + m, 2 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f
*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(5*(a + b)) + (3*(1 + m)*AppellF1[5/2, 2 + m, 1 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a -
b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5)) + (a + b)*(1 + m)*((-3*(a - b)*m*App
ellF1[5/2, 2 + m, 1 - m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan
[(e + f*x)/2])/(5*(a + b)) + (3*(2 + m)*AppellF1[5/2, 3 + m, -m, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*
x)/2]^2)/(a + b)]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/((-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/
2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)] + 2*(-((a - b)*m*AppellF1[3/2, 1
+ m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)]) + (a + b)*(1 + m)*AppellF1[3/2, 2
+ m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, ((a - b)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(a + b)])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.238, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sec \left ( fx+e \right ) \left ( a+b\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left ({\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right ), x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{m} \sec{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((a + b*sec(e + f*x))**m*sec(e + f*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)*(a+b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^m*sec(f*x + e), x)